第 4 章 · 非稳态导热
4.1 什么时候可以"忽略内部温差"？
物体被冷却/加热时，内部也在传热。若内部导热很快、表面对流很慢，物体内部近似等温——这就是集总参数法（lumped capacitance）。判据由毕奥数给出：
Bi = h Lc / k
Lc = V/A（特征长度）。经验阈值：Bi < 0.1 时，内部温差 < 5%，可用集总法
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Bi 的物理意义
Bi = 内部导热阻力 / 表面对流阻力。Bi 小 → 内部"很会传"，整体几乎同步升降温；Bi 大 → 表面先冷、心子后冷，必须求空间分布（Heisler 图或数值法）。
4.2 集总冷却定律
对集总物体做能量守恒，得到温度随时间的指数衰减：
(T − T∞) / (Ti − T∞) = exp(−t / τ)
时间常数 τ = ρ V cp / (h A) = ρ cp Lc / h；t = τ 时温差衰减到 36.8%
热流速率随时间同样指数衰减：Q̇(t) = h A (T − T∞)。注意 τ 与温差无关——只取决于物性、几何与 h。
🧪 交互：集总冷却动画
4.3 当 Bi 不够小：Heisler 图与半无限大
若 Bi ≥ 0.1，温度同时依赖位置与时间，解析解以无穷级数给出（制成 Heisler 图：无量纲温度 vs Fo，参变 Bi）。常见情形：
- 大平板 / 长圆柱 / 球：用对应 Heisler 图查一维解。
- 半无限大固体（如地表面、骤冷薄件）：
T(x,t)用误差函数erf表示，热渗透深度 ∝ √(αt)。
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工程速算口诀
先看 Bi：<0.1 直接套指数公式；≥0.1 查 Heisler 或用数值法。永远先用"集总近似"估一个量级，再决定要不要精细算。
🧩 自测题 4.1
判断能否使用集总参数法的依据是？
🧩 自测题 4.2
关于时间常数 τ，正确的是？